有名な「ビュフォンの針」は、平行線の上に針を落として円周率を求める実験です。じつはこれ、平行線じゃなくても、どんな形の線でも成り立ちます。というわけで、謎ノ美兎の線画に針を落として、円周率を求めてみました。まずは下で試してみてください。
- 針を落とす：押すと連続で針が落ちていきます。もう一度押すと止まります
- 1本ずつ：1本ずつ落として、交わったかどうかを確かめられます
- 線画をかくす：線画を消して、線と交わった針だけを赤く残します
- ふつうの平行線（元祖）：上のタブで、元祖のビュフォンの針に切り替えられます
ミコンスキー「線画をかくす」をオンにして、何万本か落としてみてください。円周率が3.14に近づくのと同時に、赤い針で謎ノ美兎が浮かび上がってきます。
元祖「ビュフォンの針」
フランスの博物学者ビュフォンが1733年に考え、1777年の著作で発表した問題です。間隔 d の平行線がたくさん引かれた床に、長さ ℓ の針をでたらめに落とすと、針が線と交わる確率は「2ℓ ÷ (π × d)」になります（針の長さ ℓ が間隔 d 以下のとき）。
確率の式に π が入っているので、逆に「落とした本数」と「交わった本数」を数えれば、π が求まります。円を1つも描いていないのに円周率が出てくるのが、この実験のおもしろいところです。
ミコンスキーでも、線が平行線じゃなかったら？ たとえば謎ノ美兎の線画だったら？
どんな線でも円周率は出る
これを広げたのが「コーシー–クロフトンの公式」です。どんな形の線でも、針1本が線と交わる回数の平均は、次の式になります。
交わる回数の平均 = 2 × 針の長さ × 線の全長 ÷（π × 面積）
理由はシンプルです。曲がった線も、細かく分ければ短いまっすぐな線の集まりです。針がそれぞれの短い線と交わる回数の平均は、その短い線の長さに比例します（向きはでたらめなので、どっち向きの線でも同じ）。全部を足すと、線の全長だけで決まる、というわけです。
ミコンスキー1本の針が線と2回交わったら、2回と数えます。そうすると、線がどんなに曲がっていても、どこに集まっていても、式がそのまま成り立ちます。
なので、謎ノ美兎の線画の全長と、絵の面積がわかれば、針を落とすだけで π が求まります。
謎ノ美兎で計算してみた
このページでは、絵の範囲を600×600マスの正方形にして、謎ノ美兎の線画を置いています。線画は短い線分の集まりなので、全部の長さを足すと線の全長は5,703マスになりました。針の長さは30マスです。
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 針の長さ | 30マス |
| 線画の全長 | 5,703マス |
| 絵の面積 | 600 × 600 = 360,000マス² |
π ≈ 2 × 30 × 5,703 × 落とした本数 ÷（360,000 × 交わった回数）で計算します。針の位置と向きは、すべてでたらめに決めています。絵からはみ出した部分は、反対側から出てくる（絵をタイルのようにしきつめた）扱いにして、ふちの影響をなくしました。
何本落とせば合うのか
同じ本数を12回ずつ試して、本物の円周率とのずれを調べました（12回の中央値なので、だいたいの目安です）。
| 落とした本数 | 謎ノ美兎（ずれの中央値） | 平行線（ずれの中央値） |
|---|---|---|
| 1,000本 | 約4.7% | 約2.7% |
| 1万本 | 約2.9% | 約1.0% |
| 10万本 | 約0.5% | 約0.3% |
ミコンスキー謎ノ美兎のほうが、平行線より合うのが遅いです。線が顔のあたりに集まっていて、針が「どっさり交わる」か「1回も交わらない」かに分かれやすいので、ばらつきが大きくなるんだと思います。
それでも10万本落とせば、0.5%くらいのずれで円周率が出ます。
赤い針だけで謎ノ美兎が浮かぶ
「線画をかくす」をオンにすると、線と交わった針だけが赤く残ります。針を落とすほど、赤い針が線画のまわりに集まって、謎ノ美兎が浮かび上がってきます。
ミコンスキー円周率を計算しているはずが、いつのまにか謎ノ美兎を描いていました。
紙とつまようじでもできます
この実験は、実物でもできます。
- 謎ノ美兎の線画を紙に印刷する（このページの線画をスクリーンショットしてもOK）
- 線画の全長を測る（定規か、細い糸を線に沿わせて測る）
- つまようじを上から何本も落として、線と交わった回数を数える
- 2 × つまようじの長さ × 線の全長 × 落とした本数 ÷（紙の面積 × 交わった回数）を計算する
ミコンスキー紙のふちから落ちたものをどう数えるかは、先にルールを決めておいてください。このページでは「反対側から出てくる」扱いにしていますが、紙ではそうはいかないので、少しずれます。
いかがでしたか？
ミコンスキー平行線じゃなくても円周率が出る、というのは知っていても、実際に好きな絵でやってみると不思議な気分になります。自分の推しの線画でも、同じ計算で円周率が出せます。
まとめ
- ビュフォンの針は、平行線に針を落として円周率を求める実験
- コーシー–クロフトンの公式で、どんな形の線でも円周率が求まる
- 謎ノ美兎の線画（全長5,703マス）でも、10万本で約0.5%のずれまで近づいた
- 線が集まっているぶん、平行線よりばらつきが大きく、合うのが遅い
- 交わった針だけを残すと、謎ノ美兎が浮かび上がる
ほかの謎ノ美兎の実験は「謎ノ美兎技術部」にまとめています。
※ 謎ノ美兎のファン作品（二次創作）です。
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